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第六章 非线性规划(管理运筹学,李军)

6 非线性规划

1、判断函数的凸凹性 (1)f(x) (4 x),x 4 (2)f(X) x1 2x1x2 3x2 (3)f(X) x1x2

(1)解:f(x) 3(4 x) 0, x<=4,故f(x)在(-∞,4]上是不减函数,

'

2

3

22

f''(x) 6(4 x) 0,故f(x)在(-∞,4]上是凸函数。

(2)解:f(x)的海赛矩阵H(x) (3)解:取任意两点X

(1)

22

,因H(x)正定,故f(x)为严格的凸函数。

26

(a1,b1)、X(2) (a2,b2),从而

f(X(1)) a1.b1,f(X(2)) a2.b2, f(X(1))T (b1,a1)

看下式是否成立:

f(X(2)) f(X(1)) f(X(1)).(X(2) X(1)) a2.b2 a1.b1 (b1,a1)(a2 a1,b2 b1)T

(a2 a1).(b2 b1) 0

a1,a2,b1,b2是任意点,并不能保证上式恒成立,故

所以f(X) x1x2既非凸函数,也非凹函数。

2、分别用斐波那契法和黄金分割法求下述函数的极小值,初始的搜索区间为x [1,15],要求|f(xn) f(xn 1)| 0.5。

f(X) x4 15x3 72x2 135x

解:斐波那契法

已知 = 0.5/(15-1)=1/28、a = 1、b = 15,有Fn

1

28,即n 8。

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