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两边夹问题的研究

专题:两边夹问题的研究

一、问题提出

问题1:数列{}n a 中,11a =,对*n N ∀∈,n n n a a 232⋅+≤+,121+≥+n n a a ,则2a = .3

问题2:已知函数()f x 的导函数'()29f x x =-,且(0)f 的值为整数,当(,1]x n n ∈+*()n N ∈时,()f x 的值为整数的个数有且只有1个,则n = .4

二、思考探究

探究1:已知数列{}n a 中,11a =,33n n a a +≤+,22n n a a +≥+,求数列{}n a 的通项公式 探究2:设数列{}n a 满足218

a =,且对任意的*n N ∈,满足243,103n n n n n n a a a a ++-≤-≥⨯,则 2014a = .

解析:由2n a +-n a ≤3n ,4n a +-n a ≥103n ⨯得4n a +-2n a +≤23n +

∵4n a +-2n a ++2n a +-n a ≥103n ⨯2n a +-n a ≥103n ⨯-(4n a +-2n a +)≥103n ⨯-23n +=3n

∴2n a +-n a =3n

,令n =2,4,6,…,2014 42a a -=23,64a a -=43,86a a -=63,…,2014a -2012a =20123

2014a =(2014a -2012a )+(20122010a a -)+…+(86a a -)+(64a a -)+(42a a -)+2a

=20123+20103+…+63+43+23+18=22100623[(3)1]31--+18=2014388-.

探究3:(1)若实数y x ,满足2ln 2ln ])(cos 41)(cos 4[log 2

22

2e y y xy xy +-=+,则x y 4cos 的值为______. (2)实数,x y 满足222

2(1)(1)2cos (231)1x y x y x y x y +++--+-=-+,则252x y -的最小值为______. 21205π-

探究4:设无穷数列{}n a 满足:n *∀∈Ν,1n n a a +<,n a *∈N .记*1()n n n a n a b a c a n +==∈N ,.

(1)若*3()n b n n =∈N ,求证:1a =2,并求1c 的值;

(2)若{}n c 是公差为1的等差数列,问{}n a 是否为等差数列,证明你的结论.

解:(1)因为n a *∈N ,所以若11a =,则113a a a ==矛盾,

若113a a a =≥,可得113a ≥≥矛盾,所以12a =.于是123a a a ==,从而121136a a c a a a +====.

(2){}n a 是公差为1的等差数列,证明如下:

12n n a a n +>⇒≥时,1n n a a ->,所以11()n n n m a a a a n m -+⇒+-≥≥, ()m n <

11111(1)n n a a n n a a a a ++++⇒++-+≥,即11n n n n c c a a ++--≥,由题设,11n n a a +-≥,又11n n a a +-≥,

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